L'ESSENTIEL DE LA BOUCLE A VERROUILLAGE DE PHASE ANALOGIQUE

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Avant de lire ce texte, avez vous fait un petit tour dans " l'électronique avec les mains (ch.asservissements)" ? cela pourrait être utile...


A. A QUOI CELA SERT IL ?
 
            Les boucles à verrouillage de phase sont des systèmes asservis. Ils travaillent par asservissement de phase (PLL Phase Locked Loop). Ils sont utilisées largement en électronique pour asservir en fréquence, un oscillateur à un signal source de référence :

·  On peut les utiliser dans le domaine analogique en démodulateur de fréquence.

·  Egalement en synthétiseur de fréquences par asservissement sur un oscillateur à quartz.

·  Une boucle à asservissement de phase permet aussi de récupérer une information de phase, donc de fréquence dans le cas de certaines démodulations (ex synchrone) lorsque la porteuse originelle est très réduite ou transmise seulement par salves.
En numérique les PLL peuvent servir à la restitution de porteuse (cf mod QPSK boucle de costas) et à la reconstitution d'horloge à partir d’un train numérique de données, l’horloge étant nécessaire à la reconnaissance des bits portant l’information. L’oscillateur à asservir peut être un soit VCO (voltage controlled oscillator) sinusoïdal (oscillateur LC en HF) ou numérique (signaux logiques).

 

B. PRINCIPE


            Un oscillateur commandé en tension (VCO) délivre une fréquence Fs dont la valeur dépend de la tension appliquée Uc sur son entrée de commande. Cette fréquence est comparée à la fréquence de référence Fe en passant par l'intermédiaire des phases instantanée des signaux je et js. Le comparateur de phase donne en temps réel l'écart (ou l'erreur) e de phase entre la source de référence et le VCO. Cette information est filtrée puis appliquée à l'entrée Uc de commande du VCO. Ainsi, la fréquence Fs est en permanence corrigée pour rester égale à celle de la source.

question : pourquoi passe-t-on par la phase pour comparer les fréquences ? Parce qu'il est plus facile d'un point de vue fonction électronique de comparer les phases en temps réel que les fréquences...

Rapellons que la fréquence est la dérivée de la phase :

si fe = constante = fo alors js(t) = 2 p.fo.t + jo. En variable de Laplace : Fe(p) =  Fs(p) = 

On remarque que si H(p) =  alors H(p) = 

Le comparateur de phase donne une tension ou un courant proportionnel à D j = je - j s

D’où Duc = uc - uco = Kc.e avec e = Dj - Dj o Dj o, uco données au point de repos et Kc exprimé en V/rd c'est à dire en dire en V

uc est filtrée par un passe bas pour éliminer les composantes HF (à fréquence fe), pour rendre la boucle stable s’il le faut et attaquer le VCO par uv.

Le VCO fournit un signal (sinusoïdal ou carré) de fréquence fs = fo + Kv.Duv où fo est la fréquence dite centrale du VCO.

D fs = fs - fo = Kv.(u v - uvo) avec Kv = constante si le VCO est linéaire (s-1.V-1 = Hz/V)

D fe = fe - fo

Les grandeurs de Laplace seront écrites en majuscules, ce sont les transformées de Laplace des variations des grandeurs instantanées par rapport à leurs points de repos.

Nota : le passage fréquence phase (en 1/p) n'a pas d'existence physique dans la boucle. Il s'agit d'une simple représentation mathématique qui permet de calculer les paramètres de la PLL.

C. Etude de la PLL CD 4046 avec un comparateur de phase de type I

Il existe de nombreux comparateurs de phase donnant continûment une tension linéaire (dans une certaine zone) en fonction du déphasage.

Les signaux peuvent être sinusoïdaux. Le comparateur est alors un modulateur équilibré à diodes (dit modulateur en anneau) en HF ou un multiplieur analogique à transistors montés en amplificateurs différentiels en série. Les signaux peuvent être logiques : un  simple OU exclusif convient alors.

I Description du comparateur de phase "OU exclusif"

            Le comparateur de type 1 intégré dans le circuit CMOS 4046 est à base de OU exclusif. Sa sortie est PC1out , ses entrées SIGNin pour l'entrée de référence et COMPin pour le signal de retour. Les signaux logiques doivent être carrés (rapport cyclique 0,5).  Le « ou exclusif » délivre en sortie des impulsions de fréquence 2.Fe et dont la largeur est proportionnelle à l'écart de phase entre les deux signaux d’entrée. La valeur moyenne de ce signal  (ou tension d’erreur) du comparateur est donc une fonction linéaire du déphasage.

question : De part la fonction "Ou exclusif" la réponse du comparateur est constituée de 2 segments de droite de pente opposée. Alors, Kc est il positif ou négatif ? Autrement dit, il y a une ambiguïté puisque pour une même tension d'erreur il peut y avoir 2 phases possibles. Dans un cas, la boucle sera stable, dans l'autre non. Par principe, ne pouvant rester sur un point instable, la boucle convergera d'elle même vers le bon couple ( uc, D j )

II Description du VCO

            Le circuit 4046 comprend aussi un VCO. La fréquence maximale d’utilisation est de 1MHz pour la version CD et 15MHz environ pour la version HC. Avec le comparateur de type « OU exclusif »,  on a,  lorsque la PLL est verrouillée à  la fréquence centrale fo,  Dj = p /2 et  uvo = Vdd/2. Lorsque la tension  de commande Uv est à zéro, le VCO se calle à Fmin et lorsqu’elle est à Vdd, le VCO se calle à Fmax.  Ces deux valeurs butées étant fixées par l’utilisateur.

III Etude théorique de la boucle

A)    Filtre de boucle

      Dans ce premier cas, le filtre de boucle  G(p) est un constitué d’un simple filtre R,C passe bas avec t = R.C.

B)    Equation de la PLL

La fonction de transfert en boucle fermée H(p) =  Fs/Fe (Kc, Kv, p, t ) s'exprime alors sous la forme d’un 2ème ordre normalisé :
 

H(p) = 

 

Avec    et 

Et  Kc = Vdd/p  (V/rd) ; Kv ≈  Fmax-Fmin/Vdd (Hz/V)
 
question : Peut on se passer d’un filtre de boucle ? S‘il n’y en avait pas, on retrouverait le signal sortant du comparateur OU EXCLUSIF directement à l’entrée du VCO.  Ce signal est carré et de fréquence 2 fois Fs (Une impulsion à chaque front). Ceci entraînerait une gigue (jitter en anglais) permanente du VCO…qui  chercherait à sauter de Fmin à Fmax constamment. Le filtre de boucle  est donc là pour extraire la valeur moyenne du signal d’erreur (sortie comparateur de phase) et ainsi lisser  la tension de commande du VCO.  Sa fréquence Fs est alors stabilisée à la valeur voulue. Suivant les caractéristiques du filtre (rapport entre sa fréquence de coupure et la fréquence de travail Fs de la boucle, et ordre du filtre), une gigue résiduelle à la fréquence 2Fs, subsistera plus ou moins.

  question : Quel ordre choisir pour le filtre de boucle ? On pourrait penser qu’augmenter l’ordre du filtre a un effet favorable sur la réduction du "jitter"… Oui mais, cela risque aussi de rendre la boucle instable. En pratique on se limite donc à un ordre 1 voire 2 au maximum.

 question : Comment choisir la fréquence de coupure du filtre ? Toujours très inférieure à la fréquence de travail de la boucle  et…

·        A partir des expressions ci dessus et en se fixant z et Wn, on peut régler Kv et la constante de temps du filtre passe bas pour avoir la réponse en boucle fermée voulue.

·        Dans le cas d’une PLL utilisée en démodulation de fréquence, la fréquence de coupure doit être supérieure ou égale à la fréquence maximale du signal modulant.

·        Dans le cas d’une PLL utilisée en démodulation FSK, la fréquence de coupure doit être supérieure au saut de fréquence choisi. (Cf TP mod FSK)

IV Plage de maintien

Une fois le VCO accroché sur fe, si la fréquence de consigne  fe évolue lentement, fs suit (poursuite ou tracking en anglais). uv évolue également, de même que uc (uv = uc en continu) donc e évolue.

Cependant des limitations apparaissent en pratique dans la boucle, il peut y avoir une saturation (ou butée) si l’écart entre fe et fo est trop grand.

De toute façon ½ De½ ne peut dépasser p /2 dans ce type de comparateur.
A la fréquence centrale fo, uvo = Vdd /2 et ½Dj ½ = p /2. Quand uv atteint 0 ou Vdd, fs ne peut plus évoluer, le VCO décroche de fe.

 

La plage de maintien est donc : D fmaint = fsmax - fsmin = Kv.Vdd.

question : pourquoi cette caractéristique est elle importante ? Parce qu'elle conditionne la capacité de la boucle à suivre les variations de la fréquence de référence autour d'un point de repos (utilisation en démodulation  FM par exemple).

V Plage de capture (d’accrochage)

En l'absence du signal de référence à fe, le VCO oscille librement sur sa fréquence centrale fo. Lorsqu'on applique soudainement le signal fe, le VCO s'accrochera si fe n'est pas trop éloignée de fo. On obtient deux limites de part et d'autre de fo entre lesquelles le VCO peut accrocher :

C’est la plage de capture : femax - femin = D fcapt.

En pratique, lorsque fs est très différente de  fe, il apparaît des battements à la sortie du comparateur de phase avec une composante fondamentale à la fréquence  fs - fe. Calculons approximativement la plage de capture : A l’instant où ue est appliquée (de fréquence fe) , il apparaît en sortie du comparateur de phase un signal carré de battement à la fréquence  fe - fo et d’amplitude crête à crête Vdd. Son fondamental a pour amplitude (2/p)Vdd. (décomposition du carré en série de Fourier). Il est filtré par le filtre passe bas de boucle de constante de temps tau.

Et il apparait en sortie de ce filtre, une tension filtrée Duv :   (*)

(*) On admet pour ce calcul que  fe - fo.>> 1/2pi.tau ( c'est à dire que la fréquence de coupure du filtre est bien inférieure à l'écart (fe-fo).Le filtre peut dans cette région être considéré comme un intégrateur pur...

Cette composante filtrée Duv commande le VCO. Si Duv est trop faible, l’excursion de fréquence Dfs provoquée sera insuffisante pour que la fréquence de sortie du VCO fs, atteigne fe : il n’y aura pas accrochage.

Pour faire passer la fréquence de sortie fs du VCO de sa fréquence libre fo à la fréquence de consigne fe, il faut donc que :

Dfs = valeur absolue(fe - fo )= Kv.Duv

c'est à dire :

Kv. = ½fe - fo½

D’où : valeur absolue de (fe - fo)= 

La plage de capture totale est donc D fcapt = 2.(fe - fo))

D’où D fcapt

question : pourquoi cette caractéristique est elle importante ? Parce qu'elle représente l'aptitude de la boucle à se recaler sur un signal de référence qui peut avoir pour une raison ou une autre avoir disparu momentanément (rupture de transmission numérique par ex). A l'image du slew-rate d’un amplificateur AOP, c'est un peu la réponse indicielle grands signaux de la boucle.

Plages comparées de maintien et de capture

La plage de capture est toujours moins large que la plage de maintien. Les flèches indiquent une sorte "d'hystérésis" : lorsque la PLL est accrochée on peut la faire suivre jusqu'à fmin ou fmax, mais lorsqu'elle a décroché, il faut revenir dans la plage de capture pour la verrouiller à nouveau.

VI Réponse transitoire

La réponse transitoire de la boucle est représentative du réglage des paramètres effectué sur le filtre passe bas. L'observation de cette réponse se fait en regardant l'évolution de la tension de commande Uv  du VCO, Uc lorsqu'on applique à l'entrée Fe un signal modulé en FSK (saut entre 2 fréquences). La fréquence des sauts doit être assez faible pour observer la totalité de la réponse et les deux fréquences choisies, comprises dans la plage de capture. La mesure du dépassement et de la pseudo période éventuelle permet de valider le choix des caractéristiques du filtre calculé.

On rappelle que le premier dépassement relatif D1 vaut :

exp() en prenant comme référence à 100% l’amplitude entre les régimes permanents du créneau.

et que la pseudo période vaut : T = 

question : pourquoi cette caractéristique est-elle importante ? Parce qu'elle caractérise notamment l'aptitude de la boucle à effectuer plus ou moins rapidement un saut de fréquence en réponse à un saut de fréquence de la référence. (Synthétiseur de fréquence et/ou poste radio à saut de fréquence par exemple)

question : Lorsque la PLL est utilisée en démodulateur FM (entrée Fe, sortie Uv), comment interpréter les trois caractéristiques maintien, capture, réponse transitoire ? Dans tous les cas, et quelque soit la forme du signal modulant, l'excursion de fréquence doit être inférieure à la plage de maintien. De plus, si le signal modulant contient des fronts, cette excursion devra être inférieure à la plage de capture (pour éviter tout décrochage). Pour une reproduction fidèle des fronts, il faudra s'intéresser à la réponse transitoire.

VII Evaluation de la gigue résiduelle en fréquence

Comme indiqué en I, le comparateur de phase à "ou exclusif" délivre des impulsions d'amplitude Vdd de fréquence 2Fe. Supposons la PLL accrrochée sur sa fréquence centrale Fo. Le signal de sortie du comparateur a alors un rapport cyclique de 50%. Ce signal peut se décomposer en série de Fourier avec un fondamental d'amplitude 2.Vdd/pi à 2Fe, et des harmoniques impaires 3,5,7 d'amplitude décroissante en 1/n ....

Le filtre de boucle passe bas n'étant pas parfait, il laisse passer des résidus de ce signal. Ce qui entraine une ondulation résiduelle sur la tension de commande Uv du VCO autour de la valeur de repos et donc une fluctuation de la fréquence autour de Fo.

Compte tenu de la décomposition de Fourier du signal et de l'atténuation toujours plus importante du filtre lorsque la fréquence augmente, on peut dire, au premier ordre, que c'est le fondamental d'amplitude 2.Vdd/Pi à 2Fe qui est responsable majoritairement de l'ondulation résiduelle. Il suffit donc de calculer l'amplitude du fondamental en sortie du filtre. Ce qui est facile connaissant sa fréquence de coupure et son ordre. Puis connaissant Kv, on obtient l'amplitude des fluctuations de fréquence, c'est à dire la gigue.

Remarque : Si la PLL n'est pas verouillée sur sa fréquence centrale, le signal de sortie du comparateur n'a pas un rapport cyclique de 50%. Il faut reprendre le calcul avec la décomposition de Fourier correspondante.

D. Etude de la PLL CD 4046 avec un comparateur de type II

I Le comparateur de phase à 3 états

1° Description

Ce type de comparateur n’est sensible qu’aux fronts des signaux logiques (ex : fronts montants) donc ceux-ci peuvent avoir un rapport cyclique quelconque. Il fonctionne suivant une logique séquentielle à l’aide de bascules activées par les fronts des signaux. Les bascules commandent 2 interrupteurs électroniques en série.

La logique est telle que K3 et K4 ne peuvent p as être fermés en même temps. 

On obtient 3 états en sortie PC2out :

K3 fermé, K4 ouvert uc = Vdd niveau H

K3 ouvert, K4 fermé uc = 0 niveau L

K3 ouvert, K4 ouvert sortie PC2out en l’air, haute impédance niveau Z

2° Fonctionnement

La logique de fonctionnement est la suivante :

Un front (montant) sur SIGNin fait " monter " la sortie d’un niveau.

ex : de L ® Z ou Z ® H ou H ® H (inchangé)

Un front (montant) sur COMPin fait " descendre " la sortie d’un niveau :

ex : de H ® Z ou Z ® L ou L ® L.

            On représentera le niveau Z par Uc à la moitié (c-a-d Vdd /2), ce qui se produit en pratique si la sortie PC2out est reliée à Vdd /2 par une résistance pour fixer le potentiel dans l’état haute impédance. Exemple avec des signaux quelconques :

            Si les signaux sont périodiques, mais de fréquences différentes avec par exemple fe > fs, la sortie ne sera pas à l’état L. Elle évoluera entre H et Z car puisque Te < Ts il y aura toujours au moins un front de ue entre 2 fronts de us.

            Si les signaux sont de même fréquence mais déphasés, la sortie est périodique avec un niveau H entre les fronts si ue est en avance sur us sinon état Z. Elle serait au niveau L entre les fronts si ue était en retard sur us.

II La pompe de charge

1° Fonctionnement

            Pendant l’état H, PC2out va fournir un courant positif de charge d’un condensateur. A l’état L le courant sera négatif et C4 se déchargera. A l’état Z le courant est nul et la tension aux bornes de C n’évolue plus.

Exemple simple :

Si uv est centrée sur Vdd /2, on a :

i = Vdd /2.R11 = Io (état H) alors uv ­

ou i = - Io (état L) alors uv ¯

Si i = 0 (état Z) uv = cte

Ainsi quand la boucle est refermée avec uv qui attaque le VCO et que fe > fs au départ, on obtient une suite d’impulsions de courant positives (entre les fronts) donc uv­ et fs ­ pour rattraper fe.

question : quel est l'intérêt du comparateur type 2 par rapport au type 1 ?

3° Amélioration

 

Ce montage simple n’étant pas symétrique car uv n’est pas forcément centré sur Vdd /2, on utilise un filtre actif .

Par le jeu de la contre réaction, le potentiel de l’entrée - de Z4 est maintenue à Vdd/2 donc le courant sera ± Vdd /(2.R19) ou 0 même si la sortie uv est quelconque.

Le 2ème amplificateur Z5 rectifie le signe de l’ensemble puisque la premier Z4 est un intégrateur inverseur.

4° Fonction de transfert approchée

 

Pour des raisons de stabilité, on n’emploiera pas un intégrateur simple, l’impédance de retour sera notée Z2(p) .

Uv(p) = Z2(p).I(p)

 

i(t) = Io (entre les fronts pour Dj = j e - js > 0

i(t) = - Io pour D j < 0

i(t) = 0 en dehors des fronts

Pour D j > 0 :

Si l’on ne s’intéresse qu’aux variations de i(t) à moyen terme, c’est à dire si D j (t) évolue lentement par rapport à Te, i(t) est quasi périodique. Si on observe uc(t) par exemple sur 10 périodes, Dj aura peu évolué pendant ce temps.

On considérera donc uniquement la valeur moyenne de i(t) à moyen ou long terme et ses variations en fonction de Dj .

Ainsi I(p) sera la transformée de Laplace de la valeur moyenne à moyen terme.

< i(t) > = Io= Io

Si D j < o alors <i(t)> < 0

donc

I(p) = L(<i(t)>) = e (p)

La pente du comparateur de phase est : Kc

Uv(p) = Z2(p).I(p)

Le schéma fonctionnel du comparateur de type II associé à une pompe de charge et son filtre est :

Ce schéma n’est valable que si la bande passante de la boucle fermée est petite devant fe.

Si la bande passante doit être grande, il faut tenir compte de l’aspect échantillonnage de la phase (entre les fronts) et du blocage ensuite.

III Etude de la boucle sous l’approximation de la bande étroite

 

La stabilité s’étudie en boucle ouverte.

T(p) =  Z2(p)

Si Z2(p)= 1/C5.p (cas d’un intégrateur simple), on obtient un système instable qui oscille à la pulsation W t où la condition de Barkhausen est parfaitement remplie.

On utilise alors une correction avec Z2 formée de R17 en série avec C5.

Alors T(p) =  (1 + R17.C5.p)      

Le système est stable si W 2 < W t donc il faut que le gain IoKv/C5 soit assez grand.

IV Boucle améliorée et application

1° Boucle du 3ème ordre

Pour réduire le jitter (bruit ou vibration de phase) , il faut mieux filtrer les impulsions délivrées par la pompe de charge entre e et uv.

Avec Z2 formé de R17 en série avec C5, on obtenait :

B1(p) = 
 

donc il n’y a plus de filtrage pour W > W2          

On peut alors utiliser un autre filtre actif :            
 
 

dont la fonction de transfert est B2(p)                
 
 

Les fréquences élevées sont rejetées.

Il faut veiller à la stabilité en étudiant T(p) en boucle ouverte.

On pourra placer W t à  pour avoir une bonne marge de phase avec W3 = 4 W2 (2 octaves).

2° Synthétiseur de fréquences

 

Une application courante est l’oscillateur à fréquence variable par sauts, asservi sur une référence stable.

Si l’on dispose d’une source de fréquence fe issue par exemple d’un oscillateur à quartz ; en introduisant dans la boucle entre fs et l’entrée - du comparateur de phase un diviseur par N programmable, on obtiendra :

fs = N fe

fs aura la même stabilité à long et moyen terme que fe (donc le VCO n’est plus sensible aux effets de la température par exemple) mais le problème du jitter peut subsister.

Le pas du synthétiseur est fe.

V Exemple de chronogrammes réels obtenus avec le comparateur type II

Dans l'exemple qui suit, on a utilisé un simple filtre de boucle R,R,C. La réponse est donc du deuxième ordre.

Le relevée en figure 1 montre la réponse de la boucle soumise à un échelon de fréquence dans sa plage de maintien. On visualise la tension de commande du VCO, Uv : les fronts dus à la pompe de charge se superposent à la tension moyenne qui change de niveau. On peut, en mesurant le dépassement et la pseudo période, remonter aux paramètres de la boucle.

Figure 1

Le relevé en figure 2 montre la capture du signal Fe par la PLL. La fréquence de consigne Fe est brutalement appliquée à l'entrée. Le chronogramme permet de mesurer le temps de capture et de voir comment le VCO passe de sa fréquence d'oscillation libre Fo (ici inférieure à Fe) à celle de consigne Fe. De même qu'en figure 1, la tension de commande du VCO évolue de sa valeur moyenne initiale vers sa valeur finale, grâce aux fronts successifs générés par la pompe de charge. On observe au début de la capture, une succession de fronts positifs (car Fo est inférieur à Fe) pour augmenter Uv et répondre au plus vite, puis une alternance de fronts positifs et négatifs destinés à maintenir la fréquence de sortie Fs autour de Fe lorsque la capture est effectuée.

Figure 2

E. Conclusion

Les circuits PLL sont très utilisés dans les télécommunications numériques (restitution l’horloge) ou analogiques (radio) et permettent d’obtenir des fréquences stables.

Mais des fluctuations de phase sont possibles (jitter), le filtre doit être calculer avec soin.

De plus avec la pompe de charge, l’aspect échantillonnage ne peut être négligé.

Plusieurs études ont été faites en utilisant la transformée en z pour assurer la stabilité de la boucle lorsqu’on recherche une bande passante en boucle fermée large et si l’on s’intéresse à la réponse en transitoire.

La PLL avec le comparateur type II (pompe de charge) a l’avantage par rapport à celui du type I de ne pas s’accrocher sur les harmoniques du signal incident, d’avoir une erreur de phase nulle et une plage d’accrochage égale à la plage de maintien.

F. Bibliographie