SPECTRES : LES BONS REFLEXES !

Ph Dondon © Copyright  2007

 


Le pasage du domaine temporel au domaine fréquentiel est essentiellement une affaire de mathématiques. Cela ne dispense pas pourtant d'avoir en tête quelques bons réflexes et un peu de bon sens...

Les fondamentaux

 

Application à un signal échantillonné

Echantillonner un signal analogique v(t) consiste, avec une périodicité définie, à prendre des points sur ce signal, en vu d'une conversion en numérique. En théorie, cela se traduit par la multiplication du dit signal par un peigne de Dirac temporel à une fréquence Fe.

Dans le domaine des fréquences, le peigne de Dirac temporel est un peigne de Dirac fréquentiel, les spectres sont convolués pour obtenir le spectre du signal échantillonné.

On peut aussi voir cela de façon plus simple comme étant la multiplication temporelle de V(t) par une somme infinie de sinus (n.2pi. fe.t). A la manière de la modulation d'amplitude le spectre du signal v(t) se retrouve transposé autour de n.fe.

Avec une signal d'échantillonnage réel avec une largeur d'impulsion non nul tau. le spectre devient comme indiqué ci dessous :

Attention : le spectre ne contient pas de raie à n.fe. mais il peut il avoir une densité d'énergie si le signal BF v(t) contient une composante continue.

Un exemple réalisé en simulation d'échantillonnnage non maintenu ( retour à zéro entre les échantillons) d'un triangle à 1kHz à une cadence de Fe=100kHz avec une largeur d'impulsion =2us est donné ci après:Le spectre s'annule tous les n.(1/2us). soit à 500kHz 1MHz etc...

Avec un échantillonnnage maintenu d'un triangle à 1kHz, toujours à une cadence de Fe=100kHz, on fabrique des marches d'escaliers ( plus douces que les retours à zéro ci dessus). Le spectre est donc naturellement moins "riche" en fréquences élevées. La largeur de l'impulsion "tau" devenant égale à Te, le spectre présente des zéro tous les n.Fe.

question : Quid du théorème de Shannon ?

D'un point de vu fréquentiel, l'on comprend que si Fe n'est pas supérieure ou égale à la fréquence maximale du signal à échantillonner, il y aura recouvrement du spectre utile de v(t) et de son image autour de Fe. Le signal ne pourra donc pas être correctement restitué.

D'un point de vu temporel, cela se traduit pas le fait qu'il n'est pas posssible de reconstituer correctement un signal avec seulement 2 points par période...

question : Que voit-on sur un oscilloscope numérique capable de prendre la FFT d'un signal ?

Deux phénomènes :

1) L'oscilloscope numérique affiche un nombre fini de périodes du signal (du à la taille écran et au nombre de points). On se trouve donc dans le cas d'un train périodique limité avec un signal H(t) particulier que l'on peut qualifier de fenêtre (=0 en dehors de l'écran; =1 dans l'ecran). Le spectre affiché par FFT sera donc altéré en amplitude et en épaisseur de raie.(forme en sinus cardinal de H(f). D'où les propositions de correction de cet "arte fact" par les fenêtres de Hanning, Hamming, ou Rectangulaire.

2) L'oscilloscope numérique travaille par échantillonnage : au premier phénomène se superpose celui du repliement de spectre. Si la fréquence du signal à analyser fo s'approche trop "près" de la fréquence d'échantillonnage fe , il apparait un battement basse fréquence fe -fo, artificiel, qui fausse totalement la mesure : Attention donc à la lecture sur l'écran de l' oscilloscope.

Quel est l'impact des harmoniques paires et impaires ?

Les harmoniques impaires (dures) sont celles qui contribuent renforcent le caractère "anguleux" du signal. L'exemple ci dessous montre bien que la superposition de l'hamonique 3 au fondamental rend le signal "plus proche" d'un carré. Les harmonique paires adoucissent le signal comme le montre l'exemple de la superposition de l'harmonique 2 et du fondamental.

 

Spectre de signaux carrés et triangulaire de rapport cyclique 50%

Le signal carré périodique de rapport cyclique 50% a un spectre de raies impaires décroissant en 1/n, si n est le rang de la raie. Le fondamental a une amplitude relative de 2/Pi (environ deux tiers de l'amplitude du carré).

Le signal triangulaire s'obtient par intégration du précédent. Son spectre se déduit donc du précédent par intégration de chaque composante du spectre et décroit en 1/n2... (la primitive de sin nx étant -1/n cos nx, et avec une décroissance en 1/n, cela donne bien une décroissance en 1/n2 ) avec des raies impaires également.

 

 

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