Le filtrage numérique avec les mains

 

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 Avertissement : Pour les matheux, il existe de très bons livres et sites WEB expliquant la théorie du filtrage numérique. Je donne simplement ici quelques éléments simples et de bon sens pour comprendre le principe de fonctionnement de ces filtres.

1) Rappels sur l'échantillonnage

La fonction de filtrage peut être réalisée en analogique ou en numérique. Il faut, dans ce dernier cas, au préalable échantillonner le signal.

2) Un exemple de filtrage passe bas

Réaliser un filtre passe bas, c'est récupérer dans le signal, ses composantes basse fréquences : C'est donc, quelque part, faire un moyennage ou un lissage du signal. On comprend alors qu'il suffit de faire une somme pondérée d'échantillons successifs pour réaliser ce "moyennage". Un schéma très simple est donné ci après : le signal échantillonné e(t) est retardé d'une période d'échantillonnage Te à chaque coup d'horloge. Et un sommateur inverseur réalise une somme pondérée de 8 échantillons analogiques successifs. Pour faciliter la compréhension, le schéma proposé réalise une sommation analogique des échantillons. Pour un "véritable filtrage numérique", cette sommation pondéré est faite par un microprocesseur. après avoir converti les échantillons en nombre binaire..

S(n)= ao.e(n)+a1.e(n-1)+...+ a8.e(n-8) avec les ai = R9/Ri


 

Si tous les les échantillons ont le même poids (résistances R1 à R8 identiques), la réponse indicielle de ce montage sera une "rampe" avec des marches de même hauteur. On réalise ni plus ni moins qu'une moyenne glissante.

Les figures 1a et 1b ci dessous montrent les réponses indicielles et fréquentielles d'un tel montage avec une fréquence d'échantillonnage de 100kHz. L'on remarque la périodicité de la réponse fréquentielle de ce filtre passe bas inhérente au filtrage numérique

 

Figure 1a : Réponse indicielle filtre moyenneur

Figuure 1b : Réponse fréquentielle filtre moyenneur

Si tous les échantillons n'ont le même poids, la réponse indicielle de ce montage sera aussi en marche d'escaliers mais la hauteur de chaque marche "i"correspondra au coefficient de l'échantillon "i" concerné. Sur la figure ci dessous, la réponse est en forme de "cosinus". la première marche est petite car R8=100k et la contribution de l'échantillon correspondant est faible. Puis la hauteur des marches augmente car les poids augmentent avec R7, R6, R5, jusqu' à la moitié de la valeur finale. Puis la hauteur des marches rediminuent de façon symétrique (pour réaliser la forme cosinus) car les poids R4, R3, R2, R1 rediminuent. Les valeurs des résistances R1 à R8 présentent aussi cette symétrie.

Les figures 2a et 2b ci- dessous montrent les réponses indicielles et fréquentielles d'un tel montage avec une fréquence d'échantillonnage de 100kHz. L'on remarque la périodicité autour de n.Fe de la réponse fréquentielle de ce filtre passe bas inhérente au filtrage numérique.

Figure 2a : Réponse indicielle filtre cosinus

Figure 2b Réponse fréquentielle filtre cosinus

En ajustant par tabulation les valeurs de résistances en fonction de la forme souhaitée (rampe, sinus, exponentiel ou autre), on peut donc donner à la réponse indicielle la forme voulue. Dans tous les cas le nombre de marche est égal au nombre d'échantillons utilisés dans le filtre (ici huit marches)

question : Quel est l'impact du nombre d'échantillons utilisés ?

Plus le nombre d'échantillons est grand, plus le "moyennage" est fort : le filtrage passe bas sera donc d'autant plus efficace.

exemple 1: réponse fréquentielle avec Fe =100kHz et un moyennage sur 2 échantillons. La BP est d'environ 22kHz et le premier zéro à Fe/2

exemple 2 : réponse fréquentielle avec Fe =100kHz et un moyennage sur 3 échantillons. Le premier zéro à Fe/3

exemple 3 : réponse fréquentielle avec Fe =100kHz et un moyennage sur 4 échantillons. La BP est de 11kHz et le premier zéro à Fe/4

exemple 4: : réponse fréquentielle avec Fe =100kHz et un moyennage sur 8 échantillons. La BP est de 5,5 kHz et le premier zéro à Fe/8

Remarque 1 : Le nombre de "lobes" que l'on dénombre entre 0 et Fe est égal au nombre d'échantillons utilisés pour le moyennage glissant.

On peut retrouver tout cela par les mathématiques...Si n est le nombre d'échantillons utilisés pour le filtrage,

alors si n est pair le module de fonction de transfert du filtre moyenneur vaut :

et si n est impair il vaut :

Cette formulation mathématique (somme de cosinus) confirme l'aspect périodique du filtre.

Remarque 2 : La périodicité fréquentielle de la réponse de ces filtres oblige à placer un filtre passe bas analogique classique pour borner le signal d'entrée et éventuellement un autre en sortie pour améliorer la restitution.

3) Passage passe bas ->passe haut

Pour les signaux analogiques on sait que, dans le domaine fréquentiel, si H(p) est de type passe bas, alors 1-H(p) représente le passe haut associé.

Dans le domaine temporel, on passe de la réponse indicielle du passe bas, à celle du passe haut par une simple opération miroir comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Si f(t) est la réponse normalisée passe bas (en bleu sur la figure) , alors 1-f(t) est la réponse passe haut (en violet) associée.

De la même façon, le passage filtre numérique passe bas ->passe haut s'obtient par effet miroir sur la réponse indicielle,

Si S(n)= ao.e(n)+a1.e(n-1)+...+ a8.e(n-8) représente comme précédemment uen réponse de type passe bas alors :

S'(n) = e(n)-[ao.e(n)+a1.e(n-1)+...+ a8.e(n-8)] représente une fonction passe haut.

Il suffit donc sur le schéma donné plus haut, de combiner l'entrée échantillonnée inversée avec la sortie passe bas. Et l'on obtient les réponses 3a et 3b duales des figures 1a et 1b. Avec une fréquence de coupure voisine de 4 kHz, un effet miroir au niveau des "creux et des bosses" dans la bande passante (huit creux de 0 à 100kHz) , et une réponse indicielle en forme d'impulsion avec une descente "rampe".

Figure 3a : Réponse indicielle filtre passe haut 8 échantillons

Figuure 3b : Réponse fréquentielle filtre passe haut

question : Filtre FIR ou IIR ?

3) Un exemple de filtre IIR passe bas

La structure d'un filtre IIR récursif est donnée en figure 4. Les échantillons de sorties y(n-i) sont réinjectés et combinés aux échantillons d'entrée avec des coefficients bi.

Figure 4 :structure générale d'un filtre récursif

Un exemple simple avec un seul échantillon est donné en figure 5 pour la compréhension du problème de stabilité : seul le coefficient b1= R9/R16 existe donc.

Figure 5 : filtre passe bas avec résonnance à 50kHz (Fe/2) avec Fe =100kHz

Le réseau "B" constitué de la "ligne à retard"et R16 forme avec l'amplificateur opérationnel monté en inverseur "A", un système bouclé. Selon la théorie de la contre réaction, il y a risque d'instabilité et d'oscillation dans la boucle, si le signal retour est réinjecté en phase et avec un niveau supérieur ou égal au signal entré.(Gain de boucle A.B supérieur ou égal à 1). Ici le sommateur inverseur apporte une phase 180° et un gain de 1 en module. La cellule de retard Te (Fe =100kHz) apporte un déphasage linéaire phi= 2.pi.f.Te. Ce déphasage est de 180° pour f = Fe/2 (et ses multiples (2k+1) Fe/2) .Dans le cas présent, il y aura donc oscillation à Fe/2 car le déphasage total de la boucle atteint 360° et son gain en module vaut 1 (R9/R16=1). Pour que le filtre soit stable, il faudra que le rapport b1= R9/R16 soit inférieur à 1.

De façon générale, il y aura possiblement des fréquences de résonnance tout les Fe/(2.n) (et tout les (2k+1) Fe/2.n), si n est le nombre de cellules retard sur les y(n). et il faudra que les modules des coefficients "bi" soient au moins tous inférieurs à 1.

Evidemment, cela renvoit aux mathématiques (Et voilà pour ceux qui, comme moi, cherchent depuis longtemps, une explication pratique des critères de stabilté pour la transformée en z) : Dans le cas simple de la figure 5, le coefficient b1 n'est autre que le pôle de la fonction de transfert en z du filtre.(racine de [1-b1.z(-1)]=0) Et l'on retrouve alors la condition classique que les pôles de la transformée en z doivent tous être à l'intérieur du cercle de rayon unité pour assurer la stabilité.(Figure 6)

Figure 6 : zone hachurée = zone de stabilité, à gauche en "p" à droite en "z"

4) Application au filtrage sigma delta

Comme indiqué sur la page amplificateur classe D, le signal modulé sigma delta ressemble au signal modulé PWM ou bien encore à un train binaire "pseudo aléatoire". Son spectre contient donc des lobes qui s'annulent en 0 ( si pas de composante continue) et tous les n.Fe où Fe est la fréquence d'horloge sur la bascule D. Il contient aussi une raie en basse fréquence BF correspondante au signal entrant.

Pour récuperer le signal BF, il est nécessaire de filtrer passe bas. L'intérêt du filtre numérique fonctionnant avec la même fréquence d'échantillonnage Fe est de présenter des zéros là ou les lobes du signal modulé sont maximum et inversement : cela tombe très bien pour l'efficacité du filtrage.

Figure 7

5) Notion de décimation

Un convertisseur sigma delta est souvent associé à à un filtre à décimation. Il s'agit en fait d'un filtre numérique ordinaire mais au lieu de "sortir" tous les échantillons y(n) fabriqués, on en sort seulement que un sur N ou N correspond au facteur de décimation. Un schéma de principe est donné ci dessous.

Ce type de filtre se justifie par le fait que, celui-ci étant passe bas, le signal de sortie a un spectre plus étroit et il est inutile de sortir les y(n) à la même cadence qu’à l’entrée.Il s'agit d'un "sous échantillonnage" qui doit tout de même respecter les conditions de Shannon.

Figure 8 : décimation

Pour le reste, synthèse des filtres etc, on n'échappe pas aux mathématiques. Mais j'espère que vous aurez compris, avec ce court exposé, le sens physique du filtrage numérique...