ALIMENTATION A DECOUPAGE

BOOST ELEVATEUR

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I) BUT DE LA MANIPULATION

Le but de la manipulation est d'étudier une alimentation à découpage DC-DC élévateur de tension. Ce type de convertisseur est aujourd'hui fréquemment utilisé dans les systèmes basse tension alimentés à partir de piles ou batteries (téléphones et équipements portables).

II) RAPPELS SUR LE MAGNETISME ET LES COMPOSANTS MAGNETIQUES

II.1) Circuits magnétiques

II.1.1) Les matériaux

On distingue deux types de matériaux : les matériaux durs (aimants permanents) et les matériaux doux (ceux qui nous intéressent ici). Parmi ceux-ci, on trouve les "ferrites". Ces matériaux sont des composés chimiques à base d'oxyde de fer associés à des métaux tels que Manganèse-Zinc(Mn-Zn) ou Nickel-Zinc (Ni-Zn). Ils existent sous forme mono cristallines et céramiques. Pour limiter les pertes magnétiques, les ferrites sont utilisées dès que la fréquence de travail dépasse 1kHz environ.

II.1.2) Cycle d'hystérésis

Les matériaux sont caractérisés par leur cycle d'hystérésis. En ce qui concerne les ferrites, l'induction à saturation Bs est de l'ordre de 0,3 à 0,5 Tesla.

Figure 1 : hystérésis

Pour un matériau donné, la forme du cycle d'hystérésis dépend :

- de la température : Bs décroît avec la température et s'annule à une température dite de Curie Tc,

- de la fréquence avec laquelle le cycle est décrit,

- des traitements qu'a subi le matériau

Si l'on introduit un entrefer localisé ou réparti dans le circuit magnétique, la perméabilité miest modifiée pour devenir une perméabilité effective me. Plus l'entrefer est important, plus me est faible (cf. figure 2).
 

me grand

me faible

Figure 2 : effet de la perméabilité effective me

On peut donc appliquer un courant beaucoup plus important avec un circuit à entrefer, avant d'atteindre la saturation du matériau.

II.1.3) les formes de circuits

* noyaux en E : transformateurs et inductances de lissage moyenne puissance

* noyaux en U : forte puissance et/ou haute tension

* les tores : faible rayonnement et fort couplage

* les pots : excellent blindage

II.1.4) Les pertes

a) pertes par courant de Foucault

Lorsque la fréquence de travail augmente, des courants sont induits en surface du circuit. Ces pertes sont proportionnelles au carré de la fréquence.

b) pertes par hystérésis

Elle dépendent de l'aire du cycle d'hystérésis décrit et de la fréquence.

c) pertes supplémentaires (traînage magnétique, relaxation)

En fait, les fournisseurs donnent dans les catalogues, les pertes magnétiques totales (en mW/cm3) sous forme de courbes (cf. annexe 1) ou de formules approchées :

PT = K.Fm.Bn.

avec : K constante du matériau

1,3<m<1,6

2<n<2,6

II.2) Les inductances

II.2.1) Généralités

Le rôle d'une inductance est de stocker une énergie électrique sous forme magnétique, puis de la restituer. On peut naturellement réaliser des bobinages à air. Mais, l'utilisation de circuits magnétiques tels que présentés ci-avant permet :

1) de diminuer l'encombrement, à valeur égale, de l'inductance,

2) de confiner le flux magnétique dans un espace restreint et ainsi de limiter les rayonnements parasites.

Les inductances sont utilisées essentiellement dans des applications de filtrage, de conversion d'énergie (alimentations à découpage...), et d'interrupteur magnétique (inductances saturables).

Le schéma électrique équivalent d 'une inductance simple L est le suivant :

où Rs représente la résistance série du fil bobiné et Cp les capacités parasites inter spires.

II.2.3) Effet de la saturation du matériau magnétique

Lorsque le matériau entre en saturation, l'inductance apparente chute rapidement. Supposons en effet, qu'un échelon de tension E soit appliqué aux bornes de l'inductance L. Le flux F croît alors linéairement (E = dF/dt), le courant également (avec une pente E/L). Puis, lorsque l'induction Bs est atteinte, le courant augmente (figure 1b) toujours mais avec une pente beaucoup plus importante : l'inductance apparente diminue donc fortement.

En pratique le courant pourra augmenter jusqu'à Imax, valeur limite déterminée par la résistance série Rs généralement faible, de l'inductance. Cette augmentation non contrôlée peut conduire à la destruction d'un ou plusieurs composants du circuit dans lequel est placé l'inductance.
 
 

Il est donc impératif de dimensionner l'inductance pour ne jamais atteindre la saturation (à la température de fonctionnement réelle). Ceci implique, entre autre, que Ilmoyen = constante. La valeur moyenne de la tension aux bornes de l'inductance est alors nécessairement nulle.
 

Figure 1a

 
 
 
 

Figure 1b

II.2.4) Dimensionnement de l'inductance

La valeur de l'inductance est obtenue par :

avec : mo = 4 p 10-7 (SI)

me : perméabilité effective ( y compris entre fer éventuel)

Se : section effective magnétique du noyau (section moyenne)

le : longueur magnétique effective (longueur moyenne du circuit magnétique)

N : nombre de spires
 
 

Dans les catalogues des fournisseurs de noyaux, on donne souvent le coefficientAL=.(en nH)

De même, on trouve l'expression c = mo encore appelé facteur de forme ou de perméance, qui caractérise la géométrie du circuit et le trajet des lignes de champ.

Après avoir calculer N, il faut s'assurer que l'induction crête Bc ne dépasse pas l'induction de saturation Bs :

a) soit en partant directement du courant crête Ic appliqué dans l'inductance, et en faisant une approximation linéaire entre B et H :

b) soit en partant de la tension appliquée au bobinage , ce qui donne :

- pour des signaux sinusoïdaux,
 
 

Uc = 2pF. N.Bc. Se

- pour des impulsions de tensions de largeur t etd'amplitude Uc,

Ic=(Uc/L) t

avec L=AL.N2

en remplaçant Ic et AL par leur expression :

Uc=N.Se. Bc/t

soit, en considérant le rapport cyclique a=t.F (F=1/T)

d'où :

Bc= Uc a/(N.Se.F)

On se placera dans le cas du rapport cyclique maximal pour le calcul.


 
 

régime d'impulsion

Si le calcul ne donne pas un résultat satisfaisant du premier coup, une itération sera peut être nécessaire pour arriver au choix des dimensions du noyau optimum.

En dernier lieu, on détermine le diamètre du conducteur à utiliser, sachant qu'un fil de cuivre supporte environ 3 à 5A/mm2,.

Remarque sur l'effet de peau :

Lorsque la fréquence de travail augmente, le courant ne se propage plus dans l'intérieur du fil mais en surface. L'épaisseur de peau d représente la profondeur à laquelle la densité de courant atteint 37% de sa valeur en périphérie. Elle diminue au fur et à mesure que la fréquence augmente.
 
F KHz
20
50
100
200
500
1000
d en mm
0,47
0,3
0,21
0,15
0,093
0,066

Le conducteur présente donc une résistance pour le courant alternatif, supérieure à celle en continu. Ce qui a pour effet d'augmenter les pertes Joules. Pour remédier à ce problème, on pourra utiliser du fil de Litz par exemple (conducteurs multibrins).

III) RAPPEL SUR LES ALIMENTATIONS

III.1) Généralités

Une alimentation a pour rôle de délivrer des tensions continues (3V, 5V, 10V...) à partir d'un réseau alternatif ou continu. Celles-ci permettent d'alimenter des circuits électroniques logiques ou analogiques. Les principales contraintes sont les suivantes :

- Sources d'énergies diverses (110V, 220V AC 50Hz et 400Hz ou 24V, 48V DC)

- Excellent rendement

- Encombrement réduit

- Multi sorties isolées et régulées

On distingue deux types d'alimentations :

- les alimentations à régulation linéaire ( LM7805 par exemple)

- les alimentations à découpage

III.2) Principe général de l'alimentation à découpage

Le secteur alternatif est redressé puis filtré. La tension continue obtenue est "découpée" par un interrupteur (transistor bipolaire ou MOS) fonctionnant en commutation. Ce découpage s'effectue en général à des fréquences supérieures à une vingtaine de KHz (au delà des fréquences audibles) jusqu'à quelques MHz. Le transfert d'énergie de l'entrée vers la sortie, se fait par l'intermédiaire d'une inductance ou d'un transformateur qui stocke l'énergie sous forme magnétique puis la restitue au rythme du découpage. La régulation de tension se fait par action sur le temps de conduction de l'interrupteur.

Puisque l'interrupteur fonctionne en commutation, les pertes du montages sont faibles. Elles se décomposent en pertes de conduction (transistor "on") et pertes de commutation. Elles seront beaucoup plus faibles que dans le cas d'une alimentation fonctionnant en linéaire.

Par ailleurs, plus la fréquence de découpage sera élevée, plus les dimensions de l'inductance ou du transformateur pourront être réduites. On gagnera ainsi en encombrement.

III.3) Avantages et inconvénients

Les caractéristiques comparées des alimentations à découpage et des alimentations à régulations linéaires sont résumées dans le tableau ci après :
 

Caractéristiques
Découpage
Régulation linéaire
Rendement
65à 90%
35 à 55%
Puissance massique
30 à 200W/kg
10 à 30 W/kg
Régulation en ligne et en charge
0,5%
0,01%
Régulation dynamique : dépassement - durée
± 5%

1 ms

± 1%

50 us

ondulation résiduelle
1%
0,1%
parasites conduits et rayonnés
Nécessité d'un blindage
négligeable

Table 1

Le principal intérêt de l'alimentation à découpage est donc son excellent rendement. Par contre, les problèmes de régulation et de C.E.M (compatibilité électromagnétique) sont plus difficiles à maîtriser.

III.4) Les types d'alimentations à découpage

Le tableau ci-après résume les caractéristiques principales des différentes structures :
 

Topologie
Fonction
Gamme de puissance(W)
Tension d'entrée (V)
Isolation

entrée-sortie

Rendement typique (%)
Buck
abaisseur
0-1000
5-1000
non
78
Boost
élévateur
0-150
3-600
non
80
Buck-boost
mixte
0-150
3-600
non
80
Sepic
mixte
0-150
3-600
non
80
Half forward  
0-150
5-500
oui
78
Flyback  
0-150
5-500
oui
80
Push pull  
100-1000
50-1000
oui
75
Half bridge  
100-500
50-1000
oui
75
Full bridge  
400-2000 +
50-1000
oui
75
Table 2


IV) ELEVATEUR DE TENSION type "BOOST"

IV.1) Principe

Figure 1 : schéma de principe

Une inductance L est placée en série entre la tension continue d'entrée Ve (fournie par une batterie ou une pile) et un transistor Q fonctionnant en commutation. Lorsque Q est passant, le courant IL augmente linéairement et une énergie E est stockée dans L. La diode D est bloquée. Puis, au blocage du transistor, l'inductance se décharge linéairement dans le condensateur et la charge R (supposée résistive) à travers la diode. Cette décharge n'est possible que si Vs>Ve (cf. figure 2). Le réseau D, C, R fonctionnant comme une "détection crête", la tension de sortie Vs est quasiment continue. Sa valeur dépend de Ve et du rapport cyclique a = (Ton/Ton+Toff) ;

Figure 2

La condition VLmoyen = 0 en régime permanent (cf.§ II.2.3 ), impose :

Vs = Ve/(1-a)

Avec 0< a <1, le montage est bien élévateur de tension.

Comme pour tout système, le rendement est inférieur à 1. Donc, la puissance fournie à la charge sera inférieure ou au mieux égale, à puissance absorbée à l'entrée du convertisseur, soit : Vs.Is < Ve. ILMoyen (1)

IV.2) Modes de Fonctionnement

a) Discontinu

Le mode de fonctionnement est appelé discontinu lorsque le courant dans l'inductance a le temps de s'annuler au cours d'un cycle.
 

figure 3

On a : ILMoyen et (2)

La tension VLmoyen aux bornes de l'inductance étant nulle on a également :

Ve.t1= (Vs-Ve).t2 (3)

En supposant la conservation de la puissance parfaite, il vient de (1),(2),(3) la relation entre Is et Vs : 

(4) avec t1=aT

b) Continu

Dans ce mode de fonctionnement, le courant dans l'inductance ne s'annule jamais.
 
La tension VLmoyen aux bornes de l'inductance étant nulle, il vient :

(Vs-Ve) (1-a) = a.Ve

Figure 4

On a alors Vs = Ve/(1-a) (5) quelque soit Is.

c) Critique

Ce mode marque la frontière entre les régimes discontinu et continu. Les relations (4) et (5) sont alors valables simultanément et il vient :

(6)

Le lieu des points Is = f(Vs) correspondant peut être reporté sur la caractéristique de sortie donnée ci après.(Is est maximum pour dIs/dVs=0 soit Vs=2Ve).

Notons encore que l'équation (6) peut encore se mettre sous la forme :

(7)

IV.3) Caractéristiques de sortie

a) Caractéristique de sortie statique

On peut tracer la caractéristique de sortie Is = f(Vs) (figure5) à partir de l'analyse des mode de fonctionnement qui a précédé :

Figure 5

On voit donc qu'il est nécessaire :

1) de réguler le montage surtout à faible charge,

2) de privilégier le mode continu car le circuit se comporte alors comme une vraie source de tension.

b) Ondulation résiduelle

On suppose que le système travaille en mode continu, et en négligeant DVs devant Vs, on obtient l'ondulation de courant dans l'inductance( figure 6) :
 

Figure 6

De la même façon, on obtient l'ondulation de tension de sortie en supposant le courant de sortie Is continu. Le courant dans C est donc le courant dans D diminué de Is et lorsque D est bloquée C se décharge à courant constant (figure 7). Sa valeur moyenne est nulle (car Vsmoyen =constante).
 

 

(8)

et Icmoyen = 0 ; Idmoyen = Is (9)

Figure 7

IV.4) Calcul et choix des composants

a) inductance

On fixe tout d'abord la fréquence de travail F (=1/T). On se place ensuite au régime critique.

A partir des deux équations (2) et (7) écrites pour le régime critique, 

et , on tire :

(10)

Connaissant Ve et les valeurs demandées de Vs et de Is (cahier des charges du concepteur), on calcule le courant maximum dans l'inductance ILmax. On estime la valeur de l'inductance L par :

et  (11)

On dimensionne ensuite l'inductance comme expliqué au § II.2.4.

b) condensateur de sortie

En fixant l'ondulation résiduelle voulue, on tire ensuite de l'équation (8) la valeur du condensateur de sortie C :

(12)

c) diode

On préférera une diode shottky dont la chute à l'état passant est faible pour minimiser les pertes en conduction. Son choix se fait en fonction du courant Id moyen, du courant Idmax crête susceptible de le traverser et de la tension inverse VR supportée, avec :

VR = Vs

Idmoyen = Is = (1-a) ILmoyen (d'après (9) et (1))

Idmax = Iqmax = ILmoyen + DIL/2 soit : Idmax = Is/(1-a) + a.T.Ve/2.L

d) interrupteur MOS

Son dimensionnement se fait en fonction du courant Iqmax crête susceptible de le traverser et de la tension drain source Vdmax à supporter.

Iqmax = Idmax = Is/(1-a) + a.T.Ve/2.L

Vdmax = Vs
 
 
 
 

IV.5) Circuit d'asservissement de tension

IV.5.1 ) Généralités

Vs peut être asservie à la valeur souhaitée grâce à une tension de référence Vref et par une boucle de retour PWM (pulse width modulation) ou PFM ( pulse frequency modulation) qui contrôle justement ce rapport cyclique (cf. figure 8). En PWM, la largeur de l'impulsion est modulée, à fréquence constante. En revanche, la PFM consiste à moduler la fréquence de découpage en gardant la largeur d'impulsion constante.

On utilise, dans notre exemple, une modulation de type PWM obtenue par comparaison d'un signal dent de scie Vt avec la tension de contre réaction continue Vc.

Figure 8 : principe de l'asservissement

Lorsque l'asservissement est correctement réalisé, la tension de sortie devient indépendante des paramètres de la boucle et on a, alors :

Comme pour tout asservissement, la stabilité de la boucle doit être étudiée. Or, un convertisseur est un circuit non linéaire et son comportement dépend du mode de fonctionnement (continu ou discontinu).

Pour le modéliser, on ouvre la boucle entre Vc et Vr et on "linéarise" autour d'un point de fonctionnement. Après avoir calculé la fonction Vs/Vc, on étudie le correcteur approprié (entre Vs et Vr).

IV.5.2) Modélisation de la boucle ouverte (mode continu)

On cherche ici à exprimer Vs en fonction de la tension de contrôle Vc.
 

Figure 9 : signal dent de scie

La courbe de réponse statique Vs = f(Vc) est représentée en figure 10. On en tire le gain en continu :

G0 = (toujours >0)

 

De la figure 9, on tire : 

a = t/T = Vc/Vmax

Or, (en se plaçant en mode continu) :

Vs = Ve/(1-a)

D'où l'expression de Vs en fonction de Vc :

Figure 10

A titre d'exemple, en prenant le point de fonctionnement Vs=2.Ve (Vc=Vmax/2) et avec Vmax = 2Ve/3 (cas du générateur de triangle NE555), on obtient :

G0 = +6 (soit environ 15dB)

Pour être complet, il faut connaître la réponse en fréquence de la boucle. Cela passe par une modélisation linéaire du "couple" interrupteur-diode (cf. annexe B) que l'on remplace par un schéma équivalent. On obtient alors la fonction de transfert T(p)= vs/vc :

où R = Rcharge//(R1+R2) et a = t/T = Vc/Vmax

Le gain statique et les paramètres dynamiques de la boucle dépendent donc du point de fonctionnement et de la charge, ce qui complique le calcul du correcteur. On le choisira pour assurer la stabilité dans le pire cas.
 
IV.5.3) Etude qualitative du correcteur

Lorsque Vc augmente, Vs augmente. Pour stabiliser la boucle, il est nécessaire que Vr diminue pour "s'opposer" à la variation positive de Vc. Le correcteur doit donc avoir un grand gain en statique et effectuer une "fonction inverseur". Un AOP monté en comparateur inverseur pourrait à priori suffire. Cependant, la réponse interne en fréquence de l'AOP engendre une instabilité qu'il faut supprimer par l'adjonction d'un correcteur intégral. (cf figure 11 et 12)

Figure 11

Figure 12

Dans l'exemple présent (Vs=2.Ve), il faudra choisir 1/2pRCr< fc/10 pour assurer la stabilité minimale du montage. Avec C capacité de contre réaction sur l'AOP et R = R1//R2.

Pour optimiser la correction et la réponse de la boucle à un échelon de charge notamment, il conviendrait d'adopter une structure PÏD

IV.6) Démarrage et protection

Dans certains cas et en l'absence de précaution, la mise sous tension du convertisseur peut causer des dommages irréversibles :

1) surtension en sortie temporaire, et destruction des montages "utilisateurs" connectés.

2) non démarrage de l'alimentation et risque de destruction du transistor interrupteur.

Pour éviter ces problèmes, il faut ajouter au convertisseur :

- un circuit de démarrage doux ("soft start") permettant à la tension de sortie de converger lentement jusqu'à sa valeur nominale par valeur inférieure.(optionnel sur la maquette)

- une limitation en courant (non présente sur la maquette)
 
 

V) EXPERIMENTATION

La maquette proposée a été réalisée en composants discrets pour des raisons de pédagogie. Mais il existe des régulateurs PWM ou PFM intégrés, type MAX 608 (Maxim) par exemple, qui remplacent avantageusement la boucle d'asservissement et les différentes sécurités du montage.

ATTENTION : AU COURS DES MANIPULATIONS, OBSERVER EN PERMANENCE LE COURANT DEBITE PAR L'ALIMENTATION Ve (ENTREE). COUPER IMMEDIATEMENT SI LE COURANT DEPASSE 1,4A. ENTRE CHAQUE OPERATION, ETEINDRE IMPERATIVEMENT Ve.

V.1) Cahier des charges :

Il impose une tension de sortie Vs=10V et un courant maximal Is de 0,5A pour une tension d'entrée de 5V. La fréquence de découpage est fixée à 50kHz.

V.2) Mesures en boucle ouverte a) Conformément au § IV.3 a), on se place à très faible courant de sortie (élévateur à vide). Mettre le montage sous tension (Ve=5V). Régler P1 pour obtenir une tension de sortie de Vs=2.Ve =10V. Faire varier la fréquence de découpage de 20kHz à 100kHz par le potentiomètre P3 . Relever la tension de sortie, la tension PWM et la tension de drain (D). La forme d'onde sur le drain est-elle conforme à la théorie ? Mesurer la pseudo fréquence Fp d'oscillation et l'amortissement z. Déduire la fréquence de résonance Fo correspondante ( ). Etablir le schéma équivalent à l'instant t2 (cf. figure 3 page 8) et expliquer le phénomène observé. Retrouver cette valeur à partir des data sheet des composants données en annexe.

b) Pour amortir les oscillations, on ajoute un circuit "Snubber" R1C1 (cf. annexe A), en parallèle sur L. Calculer les valeurs de C1 et R1 adéquates. Insérer R1 et C1 et relever à nouveau les formes d'onde. Conclusion.

Conformément au § IV.3 a), placer une charge en position 50W (Rhéostat 3.3 A) en sortie du convertisseur. Relever les formes d'onde aux mêmes points que précédemment. Conclusion. Avec a en paramètre et f = 100kHz, faire varier le courant de sortie Is jusqu'à 300mA (en diminuant la charge de 10k à 30W) et tracer le réseau des caractéristiques de sortie. Fixer la fréquence à 30kHz. Diminuer doucement la résistance de charge (de 20 à 10W). Observer le courant circulant dans l'inductance avec la pince ampèremétrique. Visualiser et relever le phénomène de saturation magnétique. Fixer la résistance de charge à 50W et f à 100kHz. Ouvrir la boucle en J1 et mettre le cavalier en position 1. Relever la courbe de transfert statique en boucle ouverte Vs=f(Vc) en faisant varier la tension Vc de 0V à 4V par le potentiomètre P1.

Régler P1 pour avoir Vs=2.Ve. Appliquer une tension alternative de 50mV en J2 et relever la réponse dynamique Vs/Vc =f(w) (gain et phase). Comparer à la théorie et expliquer la différence.

V.3) Mesures en mode asservi

V.4) Mesure à vide V.5) Rendement V.6) Démarrage et protection

Le circuit est en mode asservi (cavalier en position 1) et on fixe le potentiomètre P2 pour avoir Vs=10V

Enlever Csoft. Monter progressivement la tension d'entrée Ve de 0 à 5V. Noter la tension à partir de laquelle le système démarre. a) non chargé.

Débrancher le rhéostat. Allumer Ve (préréglée à 5V). Observer l'établissement des tensions en mode monocoup.

b) en charge et sans le circuit de démarrage (Csoft retiré). ATTENTION DANGER !

Placer le rhéostat position 20W, en sortie de l'alimentation. Prépositionner la tension d'entrée à 5V et mettre le montage sous tension. Que se passe-t-il ? Couper immédiatement Ve et expliquer.

c) en charge et avec le circuit de démarrage.(Csoft)

Observer les formes d'onde drain, sortie, PWM (oscilloscope en mode monocoup).

VI) ANNEXES
 
 

A - Calcul approché du circuit snubber

Reprenons les formes d'ondes en régime discontinu.
 
Il apparaît en fait, une oscillationsur la tension de drain Vt, au moment où le courant IL s'annule dont on a, jusqu'à présent, pas tenu compte.

Ceci s'explique par la présence des capacités parasites des différents composants du montage (inductance, transistor et diode).

En effet, à l'instant T2, le transistor MOS est bloqué, le courant IL s'annule et par suite la diode D se bloque. D'un point de vue dynamique, le schéma équivalent est alors :

Où Cd est la capacité de la diode polarisée en inverse, Cgd la capacité grille-drain du transistor MOS et Cds celle de drain-source.

La valeur Cgd +Cds = Coss dépend la tension Vds (drain-source). Elle s'obtient à partir des réseaux de courbes Coss=f(Vds) donnés par les data sheet constructeur. (Cf. data sheet IRF530 en annexe).

La valeur Cd de la diode en inverse est aussi donnée sur les data sheet (cf. annexe), mais dans des conditions de test particulière de tension inverse et de fréquence. Pour plus de précision, il faudra donc la caractériser dans les conditions proches du fonctionnement réel.

Le comportement du montage à partir de l'instant T2 correspond donc sensiblement à la relaxation du circuit LCT (avec CT = Coss+Cd). En l'absence quasi totale de résistance d'amortissement, la fréquence des oscillations est voisine de .

Pour éliminer ces oscillations, on ajoute un "snubber" (réseau C1, R1) que l'on peut expliquer qualitativement comme suit :

- Si R1 est très grande, le circuit ne sera pas amorti : la résistance ne sert à rien,

- Si R1 est très petite, C1 est en quasiment en parallèle avec L et les oscillations vont apparaître mais à la fréquence ,

- Si R1 est seule, le réseau sera bien amorti, mais la résistance dissipe de l'énergie inutilement en statique.
 
- Si C1 est très grande, cela introduit un dV/dt à la mise "off" du transistor préjudiciable au temps de commutation.

Une association R, C série est donc ainsi parfaitement justifiée.

En prenant : 1/C1.2PFo << R1 (1), l'impédance équivalente Ze totale, à la fréquence Fo est celle d'un réseau R1//L//C :

avecet

On déduit la valeur de R1 en se plaçant au régime critique z =1. On choisit ensuite C1 pour satisfaire l'inégalité (1).

B- Modélisation et calcul de la fonction de transfert en boucle ouverte
 
Le couple transistor interrupteur-diode peut être modélisé avec les conventions comme indiqué ci contre, indépendamment de la topologie du convertisseur (cf. méthode de V.VORPERIAN). On peut écrire les deux équations moyennes régissant son fonctionnement : En effet, la tension aux bornes de la diode vaut Vap pendant la durée a T et 0 pendant (1-a) T). En moyenne, on a donc : 

Vap = Vcp/a. (1)

De même, un raisonnement identique permet d'exprimer le courant moyen traversant l'interrupteur :

Ia = a.Ic (2)

En superposant de petites perturbations (notées avec un accent circonflexe) autour de ces valeurs moyennes (en grande lettre), on déduit les équations aux variations (dérivées partielles) :
 

on obtient ainsi un modèle du couple interrupteur-diode aux variations qui peut se traduire par le schéma équivalent électrique ci contre où le "transformateur" est un pseudo composant, de rapport a.

Il suffit maintenant d'insérer ce schéma dynamique dans celui du convertisseur pour obtenir une représentation linéaire approchée du fonctionnement du convertisseur. On peut alors calculer toutes les fonctions de transfert souhaitées. En particulier, Vs =f(du rapport cyclique a) est obtenue en court-circuitant la tension d'entrée Ve (continue) du convertisseur.

Les équations de départ sont les suivantes :

Ve.Ic = Vs.Is (1) : conservation de la puissance entrée sortie (valeur moyenne)

Vap = -Vs (2) : valeur moyenne

Vs=Ve/(1-a) (3): valeur moyenne

(4) : loi des mailles avec le "transformateur"

(5) : avec Zrc =R//C

La résolution de ce système d'équation conduit à :

Nota : On remarquera que cette fonction de transfert dépend du rapport cyclique et de la charge R. Par ailleurs, il convient de tenir compte de la résistance série parasite Re de l'inductance et de la dépendance de L et de Re avec la fréquence, pour affiner le modèle ci avant.

C - Schéma électrique de la maquette